Es wird eine Folge von endlichen Teilmengen des Einheitsintervalls [0,1] betrachtet, wobei diese wie folgt konstruiert wird.
Wir starten mit der leeren Menge, d.h. in unserer Box [0,1] sind noch keine Elemente vorhanden.
Nun werfen wir in jedem Schritt zufällig gleichverteilt und unabhängig voneinander ein Steinchen in die Box, das anschaulich gesprochen auf einem Element aus [0,1] landet.
Wir identifizieren das Steinchen also einfach mit dem Wert des entsprechenden Elements aus [0,1].
Falls nun das neu hinzugefügte Element kleiner ist als das zuvor kleinste Element aus der Box, machen wir den nächsten Schritt.
Falls diese Bedingung jedoch nicht zutrifft, entfernen wir das zuvor kleinste Element und beginnen dann mit dem nächsten Schritt.
Wir erhalten also als Zustände dieser Folge endliche Teilmengen des Intervalls [0,1].
Was ist zu beobachten?
Wir können vermuten, dass dieses Minimum mit Fortlaufen der Zeit einen größten Haufungspunkt hat, der exakt bei 1 - e⁻¹ liegt.
Das heißt wiederum, dass Steinchen die links von dieser Grenze hineingeworfen werden, im Laufe der Zeit mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 wieder entfernt werden,
wobei Elemente die rechts von dieser Grenze liegen für immer in diesem System Bestand haben können.
Dieser Prozess wurde in der Arbeit "A simple rank-based Markov chain with self-organized criticality" von Jan M. Swart vorgestellt und analysiert. Im Rahmen meiner Bachelorarbeit habe ich mich mit dieser Arbeit auseinandergesetzt.
Die unten stehende Simulation zeigt die Entwicklung der Steinchenmenge im Intervall [0,1].